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以下为简答，个人最简略的分类：
申请→对行政机关所用。
声请→对司法机关所用。
诉请→诉讼程序中司法状纸上所使用。
以上回答纯为个人所知，仅供参卓，烦请不吝赐教。

【诉请】向法院提出声请或请求。如：她受不了丈夫的长期酗酒殴打，决定向法院诉请离婚。

【声请】人民向法院申述请求。如：他向法院声请假扣押。

【申请】(1)人民对政府或下级对上级的请求事项。如：他提出的调职申请，很快就得到上级的批准。

申请，即申请行政机关为一定行政行为之意。
声请，即声请法院为一定诉讼上或非讼行为之意。
诉请，即诉请法院为一定裁判之意。

民事事件由普通法院受理者又可分为诉讼事件跟非讼事件。
行政事件可分为一般向行政机关请求之行为等（由行政机关受理），与进入诉讼之行政诉讼事件（由行政法院受理）

由行政机关受理者，即人民向行政机关请求为一定行为者，用「申请」
由法院受理者，不论是行政诉讼或民事诉讼，原则上 提起诉讼用「诉请」（例如：诉请法院判决命被告为＊＊行为、诉请法院确认＊＊权利存在或不存在）；其他之诉讼上行为或非讼行为原则上用「声请」
（其他之诉讼上行为，例如声请法院调查＊＊证据；非讼行为，例如声请法院核发＊＊裁定、声请法院核发支付命令）